全称命题与特称命题的否定本文简介：1.3.3全称命题与特称命题的否定一、创设情境“所有”、“任意”、等与“存在着”、“有”、“至少有一个”等的词语，分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。二、活动尝试问题1：

全称命题与特称命题的否定本文内容：

1.3.3

全称命题与特称命题的否定

一、创设情境

“所有”、

“任意”、等与“存在着”、“有”、

“至少有一个”等的词语，分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

二、活动尝试

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）“x?R，x2-2x+1≥0

分析：（1）“，否定：存在一个矩形不是平行四边形；

（2），否定：存在一个素数不是奇数；

（3），否定：$x?R，x2-2x+10；（2）任何三角形都不是等边三角形；

（3）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；

从***的运算观点剖析：,四、数学理论

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P：“x?M,有P（x）成立；其否定命题┓P为：$x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：$x?M，使P（x）成立；其否定命题┓P为：“x?M,有P（x）不成立。

用符号语言表示：

P:“?M,p(x）否定为?

P:

$?M,?

P（x）

P:$?M,p(x）否定为?

P:

“?M,?

P（x）

2.关键量词的否定

词语

是

一定是

都是

大于

小于

且

词语的否定

不是

一定不是

不都是

小于或等于

大于或等于

或

词语

必有一个

至少有n个

至多有一个

所有x成立

所有x不成立

词语的否定

一个也没有

至多有n-1个

至少有两个

存在一个x不成立

存在有一个成立

五、巩固运用

例1

写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有人都晨练；（2）p：“x?R，x2＋x+1>0；

（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p：$

x∈R，x2－x+1＝0；

解：（1）?

P：有的人不晨练；（2）$

x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）“x?R，x2－x+1≠0；

例2

写出下列命题的否定。

（1）

所有自然数的平方是正数。

（2）

任何实数x都是方程5x-12=0的根。

（3）

对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.

（4）

有些质数是奇数。

解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。

（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。

（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。

（4）的否定：所有的质数都不是奇数。

解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

例3

写出下列命题的否定。

（1）

若x2＞4

则x＞2.。

（2）

若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。

（3）

可以被5整除的整数，末位是0。

（4）

被8整除的数能被4整除。

（5）

若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

解（1）否定：存在实数，虽然满足＞4，但≤2。或者说：存在小于或等于2的数，满足＞4。（完整表达为对任意的实数x,若x2＞4

则x＞2）

（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个，使+

-m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。）

（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)

（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）

例4

写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

（1）p：若x＞y,则5x＞5y；（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；

（3）p：正方形的四条边相等；（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。

解：（1）?

P：若

x＞y，则5x≤5y；

假命题

否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题

（2）?

P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题

否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。

（3）?

P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。

（4）?

P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命题。

否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。

作业（练习）

1.已知命题则的否定形式为

2.命题“，”的否定是

3.若命题是假命题，则实数a的最小值为

4.下列有关命题的叙述错误的是（

）

A．对于命题

p：x∈R，

，则为：

x∈R，

B．命题“若－3x

+

2

=

0，则

x

=

1”的逆否命题为“若

x≠1，则－3x+2≠0”

C．若

p∧q

为假命题，则

p，q

均为假命题

D．“x

>

2”是“－3x

+

2

>

0”的充分不必要条件

5.已知命题：；命题：，则下列命题中为真命题的是（

）

A.

B.

C.

D.

6.已知两命题，命题

，均是真命题，则实数的取值范围是

(

)

A．B．C．D．

7.为假命题,则的取值范围为（

）

A．

B.

C.

D.

8.若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围是

A．[2，6]B．[-6，-2]C．（2，6）D．（-6，-2）

9.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）

A．

B.

C.

D.

10.下列命题中为真命题的是（

）

A．

B．

C．

D．

11.下列特称命题中真命题的个数是（

）

①

②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数

③

A、0

B、1

C、2

D、3

12.平面向量，共线的充要条件是

A.

，方向相同

B.

，两向量中至少有一个为零向量

C.

，使得

D.

存在不全为零的实数，，

13.下列命题中，真命题是：

（

）

A．

B．

C．a+b=0的充要条件是=-1

D．a>1,b>1是ab>1的充分条件

14.已知p：存在，若“p或q”为假命题，则实数m的取值范围是

A．[1，+）B．（一，一1]

C．（一，一2]

D．[一l，1]

15若命题p:R是真命题,则实数a的取值范围是

16.若命题:∈R，－2ax＋a≤0”为假命题，则的最小值是__________．

17.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是

18.若“，使”为真命题，则实数的取值范围是

.

19.已知命题：“x∈{x|–1<

x

<1}，使等式x2–x–m

=

0成立”是真命题，（1）求实数m的取值***M；

（2）设不等式的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围.

20.已知命题p：“x∈[1,2]，x2－ln

x－a≥0”与命题q：“x0∈R，x＋2ax0－8－6a＝0”都是真命题，求实数a的取值范围．

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