1、罗尔(Rolle)中值定理罗尔中值定理:如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,开区间(a,b)内具有导数,且在区间端点函数值相等,即f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξm?因为f(a)=f(b),所以M和m这两个数中至少有一个不等于f(x)在闭区间[a,b]的端点处的函数值,为确定起见,不妨设M≠f(a)(如果m≠f(a),证法完全类似)?那么必定在开区间(a,b)内有一点ξ使f(ξ)=M?下面我们证明f(x)在点ξ处的导数等于零,f’(ξ)=0?因为ξ是开区间(a,b)内的点根据假设可知f’(ξ)存在,即极限lim(Δx→0) [f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx存在?而极限存在必定左?右极限存在并且相等,因此不论Δx取正值趋于零(Δx→+0),还是取负值趋于零(Δx→-0),比值[f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx的极限都存在,它们都等于f’(ξ):lim(Δx→+0) [f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx=lim(Δx→-0) [f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx由于f(ξ)=M是f(x)在闭区间[a,b]上最大值,因此不论Δx是正的还是负的,只要ξ+Δx在[a,b]上,总有f(ξ+Δx)≤f(ξ)即f(ξ+Δx)-f(ξ)≤0当Δx≥0时,[f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx≤0从而根据函数极限的性质有lim(Δx→+0) [f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx≤0就是说,右极限不可能是正的同理Δx<0时[f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx≥0从而lim(Δx→-0) [f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx≥0就是说,左极限不可能是负的既然右极限不可能是正的,左极限不可能是负的,而左?右极限又必须相等,那就必然等于零,即f’(ξ)=0证毕 罗尔中值定理的几何意义若连续曲线y=f(x)在区间[a,b]上所对应的弧段AB，除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，且在弧的两个端点A,B处的纵坐标相等。

2、则在弧AB上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于x轴。