一家银行可以办5张储蓄卡。储蓄卡分为I类、II类、III类账户，I类卡只能办理一张。

根据2016年12月1日颁布的新规，同一个人在同一家银行只能开设1个I类账户。同时II类账户III类账户也有限制，不超过4个。

储蓄卡办理银行所有业务，并且使用范围与金额不受限制，是I类账户。但储蓄卡降级以后可以成为II类账户或III类账户，因此一家银行可以办5张储蓄卡。

对于一家银行办理多张储蓄卡的情况，持有人需要做出说明，同时银行会引导持卡人进行撤销或者归并账户，将之前的储蓄卡降为II类账户或III类账户。