1.数学发展史上的三次危机无理数的发现:第一次数学危机:公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。

2.这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的危机，从而产生了第一次数学危机。

3.第二次数学危机:18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。

4.1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础即无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。

5.由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。

6.导致了数学史上的第二次数学危机。

7.第三次数学危机:数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，这次危机是由于在康托的一般***理论的边缘发现悖论造成的。