tanx的原函数是-ln|cosx|+C。

∫tanxdx

＝∫sinx/cosxdx

＝∫1/cosxd(-cosx)

因为∫sinxdx=-cosx（sinx的不定积分）

所以sinxdx=d(-cosx)

=-∫1/cosxd(cosx)（换元积分法）

令u=cosx,du=d(cosx)

=-∫1/udu=-ln|u|+C

=-ln|cosx|+C

原函数存在定理

若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。

函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个。

例如：已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v=v(t),要求它的运动规律，就是求v=v(t)的原函数。原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题，当f(x)为连续函数时，其原函数一定存在。