申请卡通形象的版权的方法是：

1、将制作的卡通形象递交至版权申报中心进行申报，申报完成后会下发通知填写进行申报的有关信息；

2、在下发文件中，按要求填写完整的作品著作权登记申请表；

3、递交申请人的身份证明、权利归属证明和作品的样本至版权申报中心；

4、待将申报文件及样本递交过之后，经过版权申报中心的审查通过后，即可完成申请卡通形象的版权的操作。