三角函数

sinx

cosx

tanx

cotx

secx

cscx

含有与三角形三个内角有关的三角函数的恒等式，叫做三角恒等式

常见的三角恒等式

设A，B，C是三角形的三个内角

tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC

cotAcotB＋cotBcotC+cotCcotA=1

(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1

cosA+cosB+cosC＝1＋4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)

tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1

sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

三角恒等式的应用

（一）不等式的证明

例一

已知A，B，C是三角形的三个内角

求证cotA＋cotB＋cotC>=√3

cotA＋cotB＋cotC=cotA+cotB-cot(A+B)>cotA+cotB-cot(B)=cotA>0

(cotA＋cotB＋cotC)^2>=3(cotAcotB＋cotBcotC+cotCcotA)=3

所以cotA＋cotB＋cotC>=√3

三角公式

1.诱导公式

sin(-a)=-sin(a)

cos(-a)=cos(a)

sin(π2-a)=cos(a)

cos(π2-a)=sin(a)

sin(π2+a)=cos(a)

cos(π2+a)=-sin(a)

sin(π-a)=sin(a)

cos(π-a)=-cos(a)

sin(π+a)=-sin(a)

cos(π+a)=-cos(a)

2.两角和与差的三角函数

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)

cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)

tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)

3.和差化积公式

sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)

sin(a)?sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)

cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2)

cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)

4.二倍角公式

sin(2a)=2sin(a)cos(b)

cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)

5.半角公式

sin2(a2)=1-cos(a)2

cos2(a2)=1+cos(a)2

tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)

6.万能公式

sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)

cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2)

tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)

7.其它公式(推导出来的)

a?sin(a)+b?cos(a)=a2+b2sin(a+c)其中tan?=ba

a?sin(a)+b?cos(a)=a2+b2cos(a-c)其中tan?=ab

1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))2

1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2