一：罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续（其中a不等于b）；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，

　　那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得f'(ξ)=0.

　　罗尔定理是以法国数学家罗尔的名字命名的。

几何意义

　　罗尔定理的三个已知条件的几何意义是：f(x)在[a,b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；f(x)在内(a,b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在；f(a)=f(b)表明曲线的割线（直线AB）平行于x轴.罗尔定理的结论的直观意义是：在(a,b)内至少能找到一点ξ，使f'(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，也就平行于x轴.

二：罗尔定理可以直观的理解为，如果一个可导的函数，两个端点值是一样的话，那肯定有个中间值是导数为0的。直观理解就是函数图像要先上升（下降）再下降（上升）回到原来的值，那中间有个地方肯定是比较平坦（不是很严格，直观想象）的。拉格朗日是两个端点值不一样，中间有个值能达到。证明的思想是构造函数，把斜的化成平的（直观想象）。

三：罗尔中值定理:

设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，如果

（1）函数f(x)在闭区间[a，b]上连续；

（2）函数f(x)在开区间（a，b）内可导；

（3）函数f(x)在区间两端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)

则在（a，b）内至少存在一个点a<ξ<b，使得f＇(ξ)=0.

罗尔定理的几何解释:

当曲线方程满足罗尔定理的要求时，在区间内至少存在一点使得该点的切线的斜率为零，换句话说，该点的切线平行于x轴.

[例题]不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的导数，说明方程f(x)=0有几个实根，并指出它们所在的区间。

解：由于函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)在整个实数轴上连续、可导，并且f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0，分别在区间(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)内应用罗尔定理，可得方程f(x)=0至少有4个实根，但由于f(x)是一个4次多项式，至多有4个实根，因此方程f(x)=0只有4个实根，并且分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)内。