第一题：

显然该行列式是关于x的n+1次多项式。

当x=a1时，第一行和第二行相同，行列式为0。

同理x=ak时(1<=k<=n)，第k行就和第k+1行相同，行列式为0。

这说明行列式包含(x-a1)(x-a2)(x-a3)...(x-an)这些因子。

另外设x=-a1-a2-...-an，那么把所有列加起来，等于0向量，说明此时这n+1列线性相关了，因此行列式仍为0。

于是我们求出了该行列式的所有因子。

D=(x-a1)(x-a2)...(x-an)(x+a1+a2+...+an)是一个关于x的n+1次多项式

第二题

把这个二次型写成x'Sx的形式，其中S是对阵矩阵。然后求S的特征根和特征向量。由于S是实对称矩阵，所以S属于不同特征根的特征向量是互相正交的，这些特征向量组成的方阵就是所求的正交矩阵。

第三题

把方程组写成Ax=b的形式。

有唯一解只要系数矩阵A的行列式不为0就可以了

剩下的这些情况对应于det(A)=0，可以求出lambda，最多有三个不同的根。

a)有无数解，那么b必须在A的列空间中

b)没有解，则b不在A的列空间中

然后依次讨论这三个根分别属于a情况还是b情况就可以了。

第四题

容易求出A的特征多项式是(lambda-1)(lambda-5)，这也是A的零化多项式，也就是说(A-I)(A-5I)=0。

因此A^(10)-5*A^(9)

=(A-5I)*A^9

=(A-5I)*(A^9-A^8+A^8-A^7+A^7-A^6+...+A^2-A+A-I+I)

=(A-5I)*【(A-I)*A^8+(A-I)*A^7+...+(A-I)*A+A-I+I】

=(A-5I)*I

=(A-5I)=[-2-2;-2-2]

第五题

(1)典型的AXB=C的形式，而且A,B都可逆，X=A^(-1)*C*B^(-1)

(2)化成标准型就好了。粗略看了一下，好像是行满秩的，rank=4