椭圆是一个平面上的一个点F到两个定点A和B的距离之和等于常数2a的所有点P的轨迹，且F在AB中点O上方。其数学表达式为：$ frac{(x-x_0)^2}{a^2} + frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1 $，其中$(x_0,y_0)$是椭圆的中心，$a$和$b$分别是椭圆在$x$轴和$y$轴上的半轴长。

下面是椭圆的一些性质及其推导：

1. 椭圆任意两点间线段长度之和等于常数

证明：任取一点P及其对称点P'关于中心，则由对称性可得PP'=2a。又因为PA+AP'=PB+BP'=2a，所以PA+PB=PP'/2+PB=2a，同理可证PB+PC=2a，所以PA+PB+PC=4a

2. 椭圆离心率公式

通过定义式可以得到$frac{c}{a}=sqrt{1-frac{b^2}{a^2}}$,进一步化简有$epsilon=sqrt{1-frac{b^2}{a^2}}$

3. 椭圆焦距公式

从定义式出发可得：$PF_1+PF_2= 2(a-bar{x})$

根据中点公式，可知$bar{x}=frac{x1+x2}{2}$,同时有$F_1(-c,0), F_2(c,0)$，代入可得：

$PF_1=sqrt{(x+c)^2+y^2}, PF_2=sqrt{(x-c)^2+y^2} $，将两个焦距公式带回原式中，化简以后可以得到：$c=sqrt{a^2-b^2}$。

4. 椭圆的切线方程

以椭圆上某点P为起始点的切线斜率为k，则该点横纵坐标分别为$x_0,y_0$，则有：$-frac{b^2}{a^2}cdot frac{y-y_0}{x-x_0}$

将其与椭圆方程联立消元即可。

5. 椭圆离心率与几何性质

离心率越小椭圆越扁平；离心率等于1时，椭圆变成了一个抛物线；大于1时，椭圆变成了双曲线。