首先，我们可以把复数转换一下：

就可以非常简单的泰勒公式推导欧拉公式：

证明方法2——求导法

这个证明方法本质是构造函数，利用中值定理可以得到欧拉公式。

证明方法3——积分法

接下来我们看看为何它被誉为最美公式：

自然对数的“e”含于其中。

最重要的常数 π 含于其中。

最重要的运算符号 + 含于其中。

最重要的关系符号 = 含于其中。

最重要的两个元在里面。零元0 ，单位1是构造群，环，域的基本元素。

最重要的虚单位 i 也在其中。

若对于任意正整数n，a_1,a_2,...,a_n都为非负实数，且满足\sum_{i=1}^n a_i=1。则对于任意正整数k，有\prod_{i=1}^k (1-\frac{a_i}{n})^{n-a_i}=\frac{n!}{a_1!·a_2!···a_n!}。

该定理一般以法国数学家尼古拉·布尔巴基命名。

拉普拉斯变换：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s),则L{f '(t)}=sF(s)-f(0)

证明：

左边=L{f '(t)}

=∫[0→+∞] f '(t)e^(-st) dt 下面分部积分

=∫[0→+∞] e^(-st) d(f(t))

=f(t)e^(-st)|[0→+∞] + s∫[0→+∞] f(t)e^(-st) dt

=-f(0)+sF(s)

=右边。