欧拉fai函数是一个与欧拉函数密切相关的数论函数，也称为伯努利数模2的值或者是欧拉多项式模2的值。它是一个周期函数，其周期为2。fai函数通常用符号f(k)表示，其中k为自然数。欧拉fai函数满足以下性质：

1. f(1)=1，f(2)=0，f(2n+1)=f(n)，f(2n)=f(n)+n。

2. f(n)是奇数当且仅当n为2的幂次。

3. f(p-1)≡-1(mod p)，其中p为奇素数。

4. f(n)≡0(mod 2)当且仅当n有至少两个不同的质因数

5. f(n)是偶数当且仅当n是一个平方数，且f(n)=1-n。

欧拉fai函数在数论中有着广泛的应用，特别是在计算机科学领域中的密码学中。它可以用来生成随机数或者作为密码学算法的一部分。另外欧拉fai函数也与椭圆曲线密码学中的点计数密切相关。总之欧拉fai函数是一个非常重要的数论函数，在数学和计算机科学中都有广泛的应用。